关于傅立叶变换的一点疑惑?（夜不能寐

mark，最喜欢这种硬核的主题了

虽然我不会，但是我觉得如果论坛里能多一些硬核主题还是还是不错的

傅里叶变换平移不变性，平移到中心了，matlab 中 fftshift 函数就是这个功能

第一个问题：
计算机中使用的傅里叶变换并不是其连续形式，比如说一个 N 点(N=2^c, c 为整数)的信号 f[n]经过傅里叶变换后，会得到一个 N 点的复序列，其中第 k 个点(k=0, 1, ..., N-1)代表的频率是 k*fs/N，其中 fs 为信号的采样频率
我们假设信号 f 是一个实信号（由实数构成），那么可以由傅里叶变换的定义推导出 f(-\omega)=\bar{f}(\omega)，即信号是共轭对称的，我们就可以根据正频率推导出负频率的信息，同时离散傅里叶变换是周期的，周期为 2\pi，所以我们可以根据[0,\pi]的信号推导出其它位置的信号
通过离散傅里叶变换得到的 N 个信号相当于对连续变换的 0~2\pi 的信号进行离散，所以第 0 个点代表 0 频率，第 N-1 个点代表 2\pi 频率，而\pi 到 2\pi 频率的信号相当于-\pi 到 0 频率的信号（根据周期性），-\pi 到 0 频率的信号相当于 0 到\pi 频率的信号的共轭（实信号的共轭性）所以在只考虑幅度的情况下，0~N-1 点的信号代表：
0, fs/N, ..., fs/2, fs/2-fs/N, ..., 0
0, 1, ..., N/2, N/2+1, ..., N-1
也就是从低频到高频再到低频
二维傅里叶变换同理：

低低 低中 低高 低中 低低
中低 中中 中高 中中 中低
高低 高中 高高 高中 高低
中低 中中 中高 中中 中低
低低 低中 低高 低中 低低

经过一个 fftshift 就变成中间低、四周高的形式

第二个问题：

我看二维傅里叶变换功率谱的时候一般会取个对数，看相对量

如果想更深入理解这些问题，可以参考：
[1] 信号与系统 Oppenheim
[2] 数字图像处理 冈萨雷斯

第一个问题上面已经有了相当全面的回答，第二个问题，功率一般采用 dBw 的形式，也就是楼上说的取对数，具体形式一般是 10log(x)

复平面不是实数平面，所以高的在原点

公式写错了，t->v
F(v) = \int f(t)Exp(-i 2\pi v t)d t
很显然当 f(t) 是实函数的时候 F(-v) = conj(F(v))，f 是复数的时候没有这个性质
然后离散傅里叶变换，加和变积分，F[k] = \sum_{m=0}^{N-1} f[m]Exp(-i 2\pi mk/N)
输出的数组按 k 为下标的话，F[0] 就是 \sum_{m=0}^{N-1} f[m]为整个信号的加和（积分），也是所谓的零频。如果数组长度是 N 的话，那么频率 k 最大到 N//2，这是 Nyquist 定理决定的，所以傅里叶变换后的数组 F[0~N//2] 是 0 频到最大频率，而 N//2~N 是负频率，即-N//2+1, ...., -1, 所以整个数组按照频率排序的话（偶数 N ）的结构是 [0,1,2,...,N//2,-N//2+1,...,-1]，而 fftshift 函数会将数组重排成为（按照频率）[-N//2+1,....-1,0,1...,N//2], 不难验证当 k=-N//2 和 N//2 时二者相等。正因为 Nyquist 定理决定了傅里叶变换后频率大小小于数组一半，即|k|<N/2，以及算法的原因，傅里叶变换的输出是先 0 频，再低频到高频，然后是负频率从高负频到低负频，

不懂傅立叶，但帮楼上完善下 tex 的公式显示：

昨天有事没详细写完，今天续上：考虑一个信号 f(t)，变成一个长度为 N 的数组，数组标 i 其实和 t 是对应的，比如 t 是 0-T，那么 i=0,...N-1 对应 0,dt,2dt,3dt,....T-dt，其中 dt=T/N，但如果变成频率，首先，根据时频域倒数的关系，频率的单位是 1/T，第二，根据 Nyquist 定理，最大频率不能超过 0.5/dt，所以频率范围是 -0.5/dt~0.5/dt 。
程序里其实涉及的是数组下标的转换，在离散傅里叶变换里，输出数组的长度也是 N，比如下标 k 是 0,1,2,3,4,...N，那么按照定义，F[k] = \sum_{m=0}^{N-1} f[m]Exp(-i 2\pi mk/N)，我们如果按照下标顺序也就是 0，1，2，3...计算的话，可以从 Exp(-i2\pi mk/N)里看出，当 k<N/2 时没有任何问题，我们可以让数组下标 0,1,....N/2 对应频率 0,1/T,2/T...0.5/dt，但当 k>N/2 时，按照数组下标对应规则，频率就超过 0.5/dt 了，这是不现实的，由于傅里叶变换因子存在对称性，即令 k=N/2+j （直接对应频率 0.5/dt+j/T)，其中 j<N/2，那么变换因子 Exp(-i2\pi mk/N)=Exp(-i 2\pi m (1/2+j/N)) = Exp(-i \pi m -i2\pi mj/N)，考虑 k'=j-N/2，则 Exp(-i2\pi mk'/N)=Exp(-i 2\pi m (j/N-1/2))=Exp(i \pi m -i2\i mj/N)，和 k=N/2+j 时是一样的(Exp(i \pi m)=-1^m，m 为整数)，也就是说 k=N/2+j 对应的大于 0.5/dt 的频率其实等于一个负数频率即(j-N/2)/T=j/T-0.5/dt，这就是输出数组排序按照零频-低频-高频-负高频-负低频的原因。