Liminf 发音

定义 Definition

liminf 是数学分析与概率论中的缩写，表示“下极限”（limit inferior）：对一个数列（或函数值序列），它描述的是“从某一项开始往后看，所有尾部的最小可能极限值”，直观上可理解为序列“长期走势中不会低于的极限水平”（对应的还有 limsup 上极限）。

发音 Pronunciation (IPA)

/lm nf/

例句 Examples

The liminf of the sequence is 0.
这个数列的下极限是 0。

If \(X_n\) converges almost surely, then \(\liminf_{n\to\infty} X_n = \limsup_{n\to\infty} X_n\) with probability 1.
如果 \(X_n\) 几乎处处收敛，那么以概率 1 有 \(\liminf_{n\to\infty} X_n = \limsup_{n\to\infty} X_n\)。

词源 Etymology

liminf 来自 limit inferior 的缩写：

• lim ← limit（极限）
• inf ← inferior（较低的）
  在数学写作中为了简洁，常把 limit inferior 写成 liminf（类似地 liit superior 写成 limsup）。

相关词 Related Words

• Limit
• Inferior
• Limsup
• Supremum
• Infimum
• Convergence
• Sequence
• Almost Surely

文学与经典作品 Literary Works

• Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications（Gerald B. Folland）中在测度论与函数序列的章节常用 liminf/limsup 表述极限与不等式。
• Probability and Measure（Patrick Billingsley）在概率收敛与极限定理相关内容中频繁出现 liminf（如几乎处处收敛、BorelCantelli 等相关讨论）。
• An Introduction to Measure Theory（Terence Tao）在讨论可测函数与收敛定理（如 Fatou 引理）时使用 liminf 的标准记号。