[ 爸爸的爷爷 == 爷爷的爸爸 ][ 爸爸的妈妈 != 妈妈的爸爸 ] 这种现象, 是否有专门的数学/逻辑(?)的原则/法则来说明?

二叉树

充分条件和必要条件

全是男性不受影响，有女性就受影响

矩阵运算不满足乘法交换律

@Ayanokouji 不是的，舅舅的爷爷，爷爷的舅舅，不是一个人

有向图

@zhangsimon 舅舅就会经过妈妈啊

第一反应是 这玩意不满足交换律。 比较常见的不满足交换律的运算应该就是 矩阵乘法运算了

比矩阵更简单。
因为爷爷=爸爸^2 ；婆婆=妈妈^2
所以爷爷和婆婆这种称谓其实是爸爸和妈妈这种关系的幂
因此，可以通过幂的定义和结合律解释：爸爸的爷爷=爸爸爷爷=爸爸（爸爸）^2=（爸爸)^2爸爸=爷爷爸爸。

妈妈、舅舅这些关系跟爸爸是独立的关系，因此不能用幂的方式展开和结合。

做一个类似二叉树的结构，性别男 左子树，性别女 右子树，假如以自己为顶点去拓扑，以四个方向延伸，左上为爸爸，右上为妈妈；左下为儿子，右下为女儿，依此建立关系图

@wholve 根据计算出来的路径结果是否相同来判断，符合你的案例

外婆的妈妈 == 妈妈的外婆

对应到数学理论，应该是群论。
举个例子，平面上的平移和旋转操作，形成了一个无限群。先平移后旋转，和先旋转后平移是不一样的。两次平移则可以交换。

所有亲属称谓组成集合在“的”运算下构成群，幺元是我，生成元为 父 和 母。其中父和母各自张成的群为阿贝尔群，即父系称谓或母系称谓各自可交换。但 父的母 这一运算不可交换，故混合了父母系的称谓通常不可交换

确实是群论的知识.

高数的时候学过什么偏微分可微连续啥的，有点想不起来了，当时老师举的例子就是这种

有限群的交换律。

阿贝尔群。。。

原来 @hsfzxjy 已经说了。。。不过我在考虑，如果 incest 的话，是不是就可以交换了。。。。？

@hsfzxjy #15 “舅舅”这个元素怎么用“父”元素和“母”元素生成？

@sillydaddy 打个补丁。。。这个只适用于无同辈的关系，更广泛的情况还要再想想

你爸和你妈其实来自两棵不同的树了，关系决定了向上追溯的层级和路由。

只有幂计算可以用结合律，其他不行。
爸爸的哥哥≠哥哥的爸爸

@lambdaq @sillydaddy

重新思考了下，如果不考虑乱伦，再把配偶一支算上，则整个关系图可看成四个元生成的含幺半群：父亲（ F ），配偶（ P ），同性 Sibling （ T ）、异性 Sibling （ Y ）。幺元为我（ e ）。理论上所有关系都可以表示成这些元及其逆的乘积。一些例子（假设我是男的）：

爷爷 = 爸爸的爸爸 = F^2
伯伯 = 爸爸的同性 Sibling = FT
母亲 = 父亲的配偶 = FP
舅舅 = 母亲的异性 Sibling = FPY
儿子 = F^{-1}
女儿 = F^{-1}Y

注意到这些元仅构成半群，因为 T 和 Y 没有逆元。F, P, T, Y 的乘法表如下：

FF = F^2 FP = FP FT = FT FY = FY
PF = PF PP = e PT = PT PY = PY
TF = F TP = TP TT = T TY = Y
YF = F YP = YP YT = Y YY = T

可见 P 是阶为 2 的元，其逆为自身。F, P, Y 三者两两之间不可交换。F, P, T 三者两两之间不可交换。但是 T 和 Y 可交换。利用这个乘法表我们可以考察一些称谓是否可以交换：

父亲的舅舅 = (F)(FPY) = F^2PY
舅舅的父亲 = (FPY)(F) = FP(YF) = FPF

故 父亲的舅舅 != 舅舅的父亲

父亲的伯伯 = (F)(FT) = F^2T
伯伯的父亲 = (FT)(F) = F(TF) = FF = F^2

故 父亲的伯伯 != 伯伯的父亲

具体判断时，可以用以上表示把称谓写开，再用乘法表规约，看两遍是否一致就好了。

你可以看看数学里面的 传递性。a > b, b> c ，因为有传递性 才存在 a > b > c; 上面的例子似乎能够用传递性来解释

@hsfzxjy 利用以上公式可以进一步证明，如果称谓 A 和 B 可交换，即满足 A 的 B = B 的 A ，则只可能是以下两种情况之一：

1. 存在称谓 X 和自然数 m, n ，使得 A=X^m, B=X^n 。这是最平凡的例子，比如 A = 妈妈，B = 外婆 = 妈妈的妈妈
2. B = xPyPz ，且 x, z, A 中不含 P ，且 Ax = x, zA = z 。这会产生一些不平凡的例子，比如 A=哥哥，B=舅舅 也可交换。

感兴趣的可以试着证明一下~

@hsfzxjy
我想了下，发现父亲（ F ）这个关系，很难找到它的逆元素。下面是我的思考：

首先是明确，构成群的是关系，而不是人，比如(子-父)(子-父)=(孙-爷)，这里子不是特指某个人，而是泛指组成关系的某一方。按这个说法，「幺元为我」应该改成「幺元为自身」。

然后再考虑你定义的「父亲（ F ）」这个关系，它定义了关系的一方是另一方的父亲。但这里有个问题，F 的逆到底是什么，按照群的定义，F*(F^-1)应该得到 e ，即自身。如果说「儿子 = F^{-1}」，那么假设某个人代号为 p ，p*F*(F^-1)=p*e=p ，这里必须假设 p 是男的这个等式才成立，如果 p 是女的，p*F*(F^-1)=b ，b 男的，所以是 p 的哥哥或弟弟。

导致上面问题的原因是，「父亲（ F ）」这个关系，没有唯一的逆元素。

@hsfzxjy 纠正一下，「 p*F*(F^-1)=p*e=p ，这里必须假设 p 是男的这个等式才成立」这个说法也不对，即使 p 是男的，因为「 p 的父亲的儿子」并不一定是 p ，还可能是 p 的某个兄弟。

@Ayanokouji 爸爸的叔叔和叔叔的爸爸?

@Ayanokouji 爸爸的堂哥，跟堂哥的爸爸

@hsfzxjy
@sillydaddy

这有一篇文章，美国人 Dwight W. Read 研究 kinship 亲属半群有 4 个生成元, f,m,s,d. 各自代表父, 母, 儿, 女.

https://zhuanlan.zhihu.com/p/25012875

@sillydaddy 确实，儿子不是父的逆。但在自身是男的情况下，儿子是父亲的左逆应该是成立的。

尽管这样，我在#27 提到的一些推论是在没有涉及涉及下一代的关系的前提下推出来的，也就是说还是可以算平辈及长辈称谓是否能交换

@lambdaq 这也是另一种有趣的建模方式～但是这个系统比较依赖成员的性别属性，导致少了阶为 2 的元。

如果引入配偶一元，利用配偶的配偶=自身一关系，可以比较容易地推出称谓可交换的充要条件。这也是楼主比较感兴趣的

如果乱伦的情况下呢？-.-

@Ayanokouji 姥姥的妈妈=妈妈的姥姥，全是女的也没事。而且爸爸的叔叔!=叔叔的爸爸。所以跟性别没有绝对关系

仅考虑交换问题，不需要很复杂。

考虑平凡情况（排除乱伦、干亲等等），考虑 X 的 Y 是否等同于 Y 的 X ，只需要考虑下面两条原则：

1. X 和 Y 均是单元（单元即该称谓指代单一对象，比如爸爸妈妈，爷爷奶奶，姥姥姥爷，与之对应复元指代对象为可能多数，比如叔叔、舅舅，儿子，女儿，这些皆为不定数）
2. 最右侧称谓有相同性别

在这种情况下，出现一个问题，比如“儿子的儿子”是否等于“儿子的儿子”，从字面上两者完全相等，但从指代上很显然两者只在特定情况下相等，即一脉单传。

同样的，在上述原则之下，可以找出所有单元，并在规则 2 下进行排列，即可找出所有可能情形。

至于亲戚计算器，则考虑的情况会更复杂一些，既有单元和复元关系，也有性别关系，还有上下级别的跳动，不过限制在上下三代以内应该也是可以考虑清楚的。以“我”为基元往上数是比较清楚的，往下数则比较模糊，基本都是复元称谓。又以性别为远近区分，中间夹女性亲属的关系更远。

跳过所有的评论，直接留下我的想法：


其实只需要把所有的高级词汇都进行分解到最低级就可以了。

[爷爷] = [爸爸的爸爸]
[姥爷] = [妈妈的爸爸]

爸爸的爷爷 = 爸爸的 [爸爸的爸爸] = [爸爸的爸爸] 的爸爸 = 爷爷的爸爸

妈妈的爷爷 = 妈妈的 [爸爸的爸爸] = [妈妈的爸爸] 的爸爸 = 姥爷的爸爸