关于巴塞尔问题(1+1/4+1/9+1/16+......=Π^2 /6), 按我的思维这个结果只是一个趋近的值，这里为什么是等号呢？数学不太好，一直不太理解无穷这个概念，希望能从本质解释一下。

你没错

极限等于
等于

两个其实不一样，只是借用了等于号而已。也可以造个新符号，但是没必要。

极限等号的意思是说(也就是定义是):

定义记号: 我们把左边的和记为 l, 右边的记为 r, 一个任意小的正数 e, l - r 的差值绝对值记为 e1

极限的意思是总是可以找到一个 N, 当左边的项个数比 N 大时, 可以使得 e1 比 e 小


换个更简单的说法是, 可以使得左边和右边的差值任意小. 至于为啥任意小就是等号, 就涉及到两个数相等是啥意思了, 比如可以先从戴德金分割开始了解

@rrfeng ok,谢谢。

级数的定义就是取极限

极限就是等于，因为两者之间插不进任何第三个数字。
譬如 1=0.99999999 无限循环，这里的等号严格成立，并非约等于，也不是无限接近等于，它就是等于。

@xxb 其实 1=0.999999.. 这个我也一直没搞懂。1 和 0.999999... 按我们语义这分明是两个数不同的数，但这两个不同的数却在数学中有着相同的值(也就是可以在任意式子用 0.999...代替 1)。相当于两个符号对应一个值，不太能理解。

@Jooooooooo 暂时理解成"差值不能更小了"，所以就是等于，后面再研究研究。

1 楼是错误的！极限等于就是等于，不存在“借用等于号”这种说法。
极限对于很多人来说确实很难理解，最常见的例子就是 0.999... = 1 ，这就是严格等于，不是约等于（至少在标准实数系统中是这样）。

当然另有一些在初等数学可能没有定义的问题，通过有意义地拓展定义会有解答，但这是另外的话题，楼主的问题不属于这类。例如：
1+2+3+4+... = -1/12

不要试图用语文去理解数学……

既然你连极限都不理解，就不用去思考这么难的问题了
先把循环小数 0.99999……为什么等于 1 搞懂吧

对于非数学系，没有数学分析基础的人来说，想要真的弄懂并不容易，因为真要搞清楚涉及到实数的定义

@251 若两个数相减可以任意小, 那么这两个数相等. 这是相等的定义.

@ssynhtn 我不是要理解巴塞尔问题。本质还是理解为什么 0.999...=1 。但好像一两句话说不清楚或者听不懂。
本贴终结。

本质是算法， 无穷只是幌子， 上述等式 意味两种算法殊途同归

@251 取决你怎么定义， 可以定义不等(潜无穷)， 也可以定义相等(实无穷)， 定义相等让很多计算都更方便， 所以现代主流数学都认为相等， 事实上以前很多数学家也不认为相等， 如庞加莱等就否定实无穷

@251 #12 1/3=0.333...，(1/3)*3=1 ，0.333...*3=0.999...，所以 0.999...=1

@251 1/3 等于 0.333...能理解吗？ 2/3 等于 0.666...能理解吗？ 3/3 等于 0.999...能理解吗？

微积分的难点之一。。极限。。

@godpeo 你这种说法我特别能接受。其实定义的好坏还是看谁最能自圆其说，如果某一天在特定的条件下定义 1=2 ，从而能够解决许多问题，那也能接受了.

你可以计算一下 1 - 0.999... 的值。
你会发现 1 - 0.999... = 0.000...。

1. 当以级数形式表示时，此无穷级数表达的是极限的结果而非过程。
2. 实数本身由实数公理给出。实数的十进制表示可以看作是符号 '[0-9]','.','-' 生成的自由群到实数的映射。0.999...=1 说明这个映射不是单值的。其实任何进制表示都有这个现象。
3. 有人提到超实数。非标准分析我不熟，但即便在非标准分析框架下，也应该不会影响此断言的正确性。非标准分析把标准公理系统嵌入（一阶）到一个更大的系统中。虽然新系统确实有更多的对象，但“嵌入”即要求原有的断言到新系统上仍然正确 (concurrent relation).

“趋近于”是极限发展早期的一种朴素的想法，也是常用的一种引领第一次接触极限的人进入这个世界的一种思考过程，但是这样容易造成两种普遍的误解，就是“极限一定伴随着一个过程”以及“极限只能无限接近而永远取不到”，这个阶段的极限是存在缺陷以及缺乏明确定义的，但是自从 epsilon-delta 语言诞生以后，极限就拥有了准确的定义，这时的极限就是一个确定的值，并且不再需要借助“趋近的过程”去理解

如果上面这段难以理解的话，我换一种非常**不严谨**但是可以解答你的疑问的表述方式
假如我们非要用“趋近于”来定义极限的话，可以表述成
f(x)“趋近于”一个值，这个值**等于**a ，所以 f(x)的极限**等于**a
而不是
f(x)“趋近于”一个值，这个值“趋近于”a

换句话说，“趋近于”已经出现在极限值的定义里了，而这个值本身是一个确定的值，不需要再用“趋近于”了

再次强调，使用“趋近于”来定义极限仅仅是为了便于理解，严谨的极限定义必须使用 epsilon-delta 语言

@GuuJiang 其实就是楼上 godpeo 说的，潜无穷和实无穷。主要还是看定义。

举个例子，1/3 *3 =1 ，没有问题吧。那么 0.333…*3=0.999…=1 没有问题吧。

规定：如果两个实数之间不存在其它实数，那么这两个实数相等。比如，假如已知实数 a 和 b ，如果不存在 c 使得 a<c<b 或者 b<c<a ，那么我们规定 a 等于 b 。比如，0.999...和 1.0 之间就不存在任何实数。所以我们规定它们相等。

这个实数相等的定义与极限无关。极限是高级的内容，是基于这个定义的基础之上的。

（楼上其它所有答案都是错的）

每次数域扩充，都伴随着相等这个定义的扩充。当你定义了极限，也就定义了带有极限的相等。
所以现在的等于和以前的等于就是不一样的，有什么错？

不要用语文理解数学 + 1
看一下 ε-N 语言，这就是极限语境下对于 “等于” 的严格定义。

@Goldilocks 你的证明是最完备的。但楼上的证明也不能说是错的吧，换一种推导，0.111...=1/9 0.222...=2/9 （这个证明过程略去，10x-x 这种就能证明）那么 0.999...其实就是 9/9 ，所以拿 0.333...x3=0.999...来理解也没问题啊

关于 1=0.99999999 ，可以理解为数轴上同一个点的不同表达方式

既然是同一个点，那就是同一个数

@251 ，不要被"取决于定义"的说法左右，它们就是严格相等，没有任何回旋的余地。
只要心里对"相等"还有哪怕一丁点怀疑，都会妨碍你理解。

数学分析学一章就懂了

@besto #27 当你预设 1/9 严格等于 0.111...的时候，你就预设了 1=0.999...，这就循环论证了。

@Goldilocks 实数又不只有戴德金分割一种定义方式，用有理数柯西序列的“极限”来导出实数也是主流的定义方式，怎么就错了？

楼主说“1 和 0.999999... 按我们语义这分明是两个数” 这就是典型的数学直觉主义啊，也是数学哲学的一大立场，没必要先入为主地笃定自己一定是错误的。
楼里说到实无穷和潜无穷，还有一些数学哲学家连潜无穷都不承认，他们的立场叫 strict finitism 严格有穷主义

就标题中的问题, 数学有 “extensional” 和 "intensional" 之分. 通俗地说 extensional 的等同关系比 intensional 的等同关系更不严格. 而集合论中的等同关系通常是 extensional 的.

楼主对数字的理解大概还停留在比例数(有理数). 但等式的左边是无理数. 有一个方便理解的方法, 从编程的角度来看, 它是一个函数, 它的定义域是自然数, 它的到达域(codomain)是一个比例数. 而等式的右边, PI 是一个无理数, 按照某些收敛公式, PI(以及右边等式) 也是一个定义域为自然数, 到达域是比例数的函数;
用 ts 的语法写即就是:
left : NaturalNumbe -> RatiOnalNumbe= sigma(n, n => 1/n^2)
right : NaturalNumbe -> RatiOnalNumbe= leibnizFormulaForPI(n)^2/6


如果是 “less extensional” 的等同关系, 我们会要求这两个函数对于任意自然数 n, 返回的比例数都等同.
但这里是 “more extensional” 的等同关系, 我们的要求是, 给定任意一个正实数(虽然我们在这里还没有定义正实数) e, 存在一个自然数 N, 对于任何大于 N 的自然数 n,等式左右的结果的差的绝对值都小于 e. 也就是
abs(left(n), right(n)) < e.

实际上是相等，不同的表示方法容易把人绕晕，因为直觉上没有无限这种概念。

就像把一个苹果切分成三份，依次吃下就等于吃了一整个，很多人按照分数 1/3 计数就不会误解，但如果你跟他表示每一份是 0.333...的量，他就会告诉你他只吃了 0.999...，没吃到一整个。

无限小数在生活中用处不大，很多初中数学老师都搞不明白的 XD ，所以也无所谓吧。

epsilon-delta

@krixaar 这根本不是预设。因为证明比较简单，所以拿掉了，看来还是要补上。设 x=0.111... 那 10x=1.111... 10x-x=9x=1 故 x=1/9 也就是 0.111...为 1/9 。

微积分中的 =， 不是 1=1 的 =

@besto #37
我装傻一下：10x 为什么是 1.111...呢，一个小数乘以 10 之后，小数部分会少一位啊，你看 0.1x10=1 ，0.11x10=1.1 ，0.111x10=1.11 ，1.111...乘以 10 之后，最后会少一位啊，是 1.1111...0 啊，不能等于 1.111...，它比 1.111...小，刚好小个 0.000...1 ！
为什么我会这样想，是因为我原本就觉得 1 和 0.999...之间差了个不可能的 0.000...1 ，即，我没有理解无限循环的含义。
你能这样证明的前提是我认同 1 严格等于 0.999...，不知道这么解释是不是能更明白一些。

我觉得 v2 以后应该多发表一些这类问题,简直是民科过滤器