如何实现在 Web 页面中点一下按钮就能启动一个 PHP 进程？

这不就是接口嘛，发个请求过去出发下不就好了

ajax 请求？

php 脚本就是这样运行的呀。。

通过 web 页面，启动服务端的 php cli 脚本？

web 页面、php cli 两边隔离开，分别运行就可以了。通过文件 /数据库 /memcached 通信。
比如，服务端一个脚本循环运行，每隔 1 秒读取一次指定文件，接收 web 页面写进来的指令。读到指令，执行脚本。

启动的 php 进程是在客户端上还是在服务器上面？

exec exec_shell command

当然这位大佬说的也可以，你也可以放到数据库中，然后 crontab 定时从库里拉数据，有的话就执行 @t6attack

简单点的丢数据库跑 cron。
优雅点的丢 MQ 或者 swoole 常驻内存实现。

如果你说是的后台进程的话，那么 PHP 的 pcntl 扩展就可以实现，利用 pcntl_fork 可以动态产生新的子进程并在后台运行。

https://segmentfault.com/a/1190000010808678