Prime Ideal 发音

释义 Definition

素理想（prime ideal）：抽象代数中环（ring）里的一个理想 \(P\)，满足：如果两个元素的乘积 \(ab \in P\)，那么必有 \(a \in P\) 或 \(b \in P\)。直观上，它把“素数的不可分解性”推广到“环中的理想”。（在交换环中最常用；在非交换情形还有不同定义与细节。）

发音 Pronunciation (IPA)

/pram adil/

例句 Examples

A prime ideal in a ring behaves like a prime number in the integers.
环中的素理想在性质上类似于整数中的素数。

If \(P\) is a prime ideal of a commutative ring \(R\), then the quotient ring \(R/P\) is an integral domain, which is why prime ideals are central in algebraic geometry.
若 \(P\) 是交换环 \(R\) 的素理想，则商环 \(R/P\) 是整环；因此素理想在代数几何中非常核心。

词源 Etymology

prime 源自拉丁语 primus（“第一、最初”），在数学里引申为“基本且不可再分”的概念（如 prime number）。ideal 在代数语境中来自德语 Ideal，19 世纪由库默尔（Kummer）等人用于代数数论，后由戴德金（Dedekind）系统化为“理想”一结构；prime ideal 则表示满足“乘积落入其中必有因子落入其中”的理想，体现了“素性”的推广。

相关词 Related Words

• Ideal
• Prime
• Ring
• Maximal Ideal
• Integral Domain
• Localization
• Spectrum
• Noetherian Ring
• Quotient Ring
• Homomorphism

文学/经典著作中的出现 Literary Works

• Introduction to Commutative Algebra（Atiyah & Macdonald） 以素理想与谱（Spec）为主线的经典入门书。
• Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry（David Eisenbud） 大量使用 prime ideal 连接交换代数与代数几何。
• Algebra（Serge Lang） 在环与理想章节系统讨论素理想与相关结构。
• Algebraic Geometry（Robin Hartshorne） 通过素理想与 \(\mathrm{Spec}(R)\) 构建仿射簇与层论框架。
• Elements of Commutative Algebra（Bourbaki） 以公理化方式深入处理素理想、局部化等主题。