Pointwise Convergence

释义 Definition

逐点收敛：在函数序列（或函数列）{f} 中，如果对定义域内每一个固定点 x，都有 f(x) 随 n→∞ 收敛到某个函数 f(x)，则称 f 逐点收敛到 f。
（常见于实分析、测度论与泛函分析；它通常比“一致收敛”更弱。）

例句 Examples

The sequence of functions converges pointwise to zero.
这列函数逐点收敛到零函数。

Although \(f_n\) converges pointwise to \(f\), the convergence is not uniform on \([0,1]\), so we cannot interchange the limit and the integral without extra conditions.
尽管 \(f_n\) 逐点收敛到 \(f\)，但它在 \([0,1]\) 上并不一致收敛，因此若没有额外条件，就不能随意交换极限与积分。

发音 Pronunciation (IPA)

/pntwaz knvdns/

词源 Etymology

pointwise 由 point（点）+ 后缀 -wise（以……方式、就……而言）构成，字面意思是“逐点地”。convergence 来自拉丁语词根 convergere（“汇聚、趋向”），在数学中引申为“趋于同一极限”的性质。合起来即“按每个点分别考察的收敛”。

文学与著作 Literary Works

Principles of Mathematical Analysis（Walter Rudin）：在讨论函数列的收敛、连续性与积分交换等主题时使用“pointwise convergence”。
Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications（Gerald B. Folland）：在测度论框架下对逐点收敛及其与“几乎处处收敛”等概念的关系进行阐述。
Real and Complex Analysis（Walter Rudin）：在实分析与积分理论部分出现，用于对比逐点收敛与更强的收敛方式。