Low-rank Approximation

释义 Definition

低秩近似：在线性代数与数值计算中，用一个秩较低（rank 更小）的矩阵去近似原矩阵，以在尽量保持主要信息的同时，达到降维、去噪、压缩、加速计算等目的。常见做法是利用奇异值分解（SVD）保留前 \(k\) 个主要成分。

发音 Pronunciation (IPA)

/lo rk prksmen/

例句 Examples

A low-rank approximation can reduce the size of a data matrix.
低秩近似可以减小数据矩阵的规模。

Using SVD, we compute a low-rank approximation that preserves most of the signal while discarding noise.
使用奇异值分解（SVD），我们可以计算一种低秩近似：保留大部分有效信号，同时丢弃噪声。

词源 Etymology

low-rank 由 low（低的）与 rank（秩；等级）组成，这里的 rank 是矩阵的“秩”，表示其线性独立信息的多少；approximation 来自拉丁语 approximare（靠近、接近），在数学语境中指“用更简单的对象去逼近原对象”。合起来表示“用秩更低的结构去逼近原矩阵”。

相关词 Related Words

• Matrix
• Rank
• Approximation
• Singular Value Decomposition
• Principal Component Analysis
• Projection
• Compression
• Frobenius Norm
• EckartYoung Theorem

文学与著作 Literary Works

• Matrix Computations（Golub & Van Loan）：在数值线性代数框架下系统讨论低秩近似与 SVD 的计算与应用。
• Numerical Linear Algebra（Trefethen & Bau）：用直观方式讲解 SVD、最优低秩近似等核心概念。
• Introduction to Linear Algebra（Gilbert Strang）：在教学语境中介绍秩、近似思想及其与数据分析的联系。
• Eckart & Young（1936）的经典论文（提出著名的 EckartYoung 最优性结论）：奠定“最佳低秩近似”的理论基础。