Laplace Transform

定义 Definition

拉普拉斯变换：一种把时间域（或空间域）函数转换到复频域（\(s\) 域）的积分变换工具，常用于求解微分方程、分析线性时不变系统与电路/控制系统。常见形式为
\[ \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt \] （在一定收敛条件下成立）。也存在逆拉普拉斯变换把结果从 \(s\) 域变回原域。

发音 Pronunciation

/lpls trnsfrm/

词源 Etymology

“Laplace”来自法国数学家与天文学家 Pierre-Simon Laplace（皮埃尔-西蒙拉普拉斯）的姓氏；“transform”源自拉丁语 transformare（改变形态、转换）。该术语用于纪念拉普拉斯在概率与数学分析中的奠基性工作，后来发展成工程与应用数学中非常核心的变换方法。

例句 Examples

The Laplace transform helps solve differential equations.
拉普拉斯变换有助于求解微分方程。

Using the Laplace transform, we convert the system’s time-domain response into an algebraic equation in the s-domain, making it easier to analyze stability and transient behavior.
使用拉普拉斯变换，我们把系统的时域响应转换为 \(s\) 域中的代数方程，从而更容易分析稳定性与瞬态行为。

相关词 Related Words

• Fourier Transform
• Inverse Laplace Transform
• Convolution
• Differential Equation
• Transfer Function
• Complex Frequency
• Heaviside Function
• Bromwich Integral

文学与典籍中的用例 Literary Works

• David V. Widder：《The Laplace Transform》系统论述拉普拉斯变换的经典专著。
• Erwin Kreyszig：《Advanced Engineering Mathematics（工程数学）**》在常微分方程与工程应用章节中频繁使用该概念。
• Murray R. Spiegel：《Schaum’s Outline of Laplace Transforms》以大量例题讲解拉普拉斯变换及其逆变换。
• R. Bracewell：《The Fourier Transform and Its Applications》对比讨论傅里叶变换与拉普拉斯变换等相关工具（在信号与系统语境中常并提）。