Harmonic Function

释义 Definition（中文）

调和函数：在某个区域内二阶连续可导，并满足拉普拉斯方程 Δu = 0 的函数。它常用于描述“无源”的稳态场，如重力势、静电势、稳态温度分布等。（在复分析中，调和函数也常与“某个解析函数的实部/虚部”相关。）

例句 Examples（EN/中文）

A harmonic function satisfies Laplace’s equation.
调和函数满足拉普拉斯方程。

On a simply connected domain, every harmonic function can be written locally as the real part of a holomorphic function, which links potential theory to complex analysis.
在单连通区域内，每个调和函数在局部都可表示为某个全纯函数的实部，从而把势理论与复分析联系起来。

发音 Pronunciation（IPA）

/hrmnk fkn/

词源 Etymology（中文）

harmonic 源自希腊语 harmonikos（“和谐的、协调的”），与“和声/协调”相关；在数学里引申为“满足特定平衡关系”的性质。function 来自拉丁语 functio（“执行、作用”）。合起来，“harmonic function”在数学语境中指满足拉普拉斯算子为零、体现“平衡/无源”状态的函数。

相关词 Related Words

• Analytic
• Laplace Equation
• Laplacian
• Potential
• Potential Theory
• Subharmonic
• Superharmonic
• Green Function
• Boundary Value Problem
• Mean Value Property

文献与作品 Literary / Notable Works（出现语境）

• Lars Ahlfors, Complex Analysis（复分析经典教材，系统讨论调和函数与解析函数的关系）
• Walter Rudin, Real and Complex Analysis（包含调和函数在分析中的重要性质与应用）
• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations（在偏微分方程框架下讨论拉普拉斯方程与调和函数）
• Courant & Hilbert, Methods of Mathematical Physics（以物理与数学方法阐述势函数、拉普拉斯方程与相关解的性质）
• Thomas Ransford, Potential Theory in the Complex Plane（专门围绕复平面势理论与调和函数展开）