Generating Function 发音

定义 Definition

生成函数（数学）：把一个数列的系数“打包”进一个幂级数（或形式幂级数）中的工具，用来研究数列、递推关系与计数问题。最常见形式为
\[ G(x)=\sum_{n\ge 0} a_n x^n \] （也有指数型生成函数等其他类型）。

发音 Pronunciation (IPA)

/denret fkn/

例句 Examples

A generating function can simplify counting problems.
生成函数可以简化计数问题。

Using the generating function, we can solve the recurrence and extract a closed-form formula for \(a_n\).
利用生成函数，我们可以解出递推关系，并提取出 \(a_n\) 的闭式表达。

词源 Etymology

generating 来自 generate（“生成、产生”），function 来自拉丁语 functio（“作用、功能”）。在数学里，“generating function” 直译为“生成的函数”，强调它能“生成”并编码一个数列的信息：展开成幂级数后，各项系数就对应原数列。

相关词 Related Words

• Coefficient
• Power Series
• Formal Series
• Recurrence
• Combinatorics
• Sequence
• Closed Form
• Exponential Generating Function

文学与名著用例 Literary Works

• Generatingfunctionology（Herbert S. Wilf）
• Analytic Combinatorics（Philippe Flajolet & Robert Sedgewick）
• Concrete Mathematics（Graham, Knuth & Patashnik）
• An Introduction to the Theory of Numbers（Hardy & Wright）