Differentiability

释义 Definition

Differentiability（可微性）：指一个函数在某一点（或某一区间/区域）上存在导数的性质。直观上，函数图像在该点附近可以用一条“切线”良好地近似。除数学分析外，在优化与机器学习中也常用来保证梯度法等方法可用。（该词也可用于更高维的“可微/可微分”概念，如多元函数的可微性。）

发音 Pronunciation

/dfrniblti/

例句 Examples

The differentiability of \(f\) at \(x=0\) can be checked by the limit definition.
可以用极限定义来检验 \(f\) 在 \(x=0\) 处的可微性。

Although the function is continuous everywhere, its differentiability fails at the cusp, which makes gradient-based optimization unstable near that point.
尽管该函数处处连续，但在尖点处不可微，这会使基于梯度的优化在该点附近变得不稳定。

词源 Etymology

differentiability 源自 differentiate（求导、区分），其词根与拉丁语 differentia（差异、区别）相关；后缀 -ability 表示“……的能力/性质”。字面上可理解为“能够被求导（或具备求导意义）的性质”，数学中专指“存在导数”的性质。

文学与经典著作中的用例 Literary Works

Walter Rudin《Principles of Mathematical Analysis》（《数学分析原理》）：在实分析框架下系统讨论可微性与连续性、均值定理等。
Michael Spivak《Calculus》（《微积分》）：以严格但可读的方式引入导数与可微性，并强调几何直观。
Tom M. Apostol《Calculus》：在单变量与多变量情境中反复使用并深化“可微性”的定义与应用。
John M. Lee《Introduction to Smooth Manifolds》：在流形与光滑结构中，以可微性为核心概念贯穿“光滑映射/可微映射”。