Completely Multiplicative

释义 Definition

（数论/算术函数）完全乘法性：指一个函数 \(f\) 满足对任意正整数 \(m,n\)，都有
\[ f(mn)=f(m)f(n) \] （不要求 \(m,n\) 互素）。这比“乘法性（multiplicative）”更强；后者通常只要求在 \(\gcd(m,n)=1\) 时成立。

发音 Pronunciation (IPA)

/kmplitli mltplktv/

例句 Examples

A completely multiplicative function satisfies \(f(mn)=f(m)f(n)\) for all positive integers \(m,n\).
完全乘法性函数对任意正整数 \(m,n\) 都满足 \(f(mn)=f(m)f(n)\)。

The Liouville function is completely multiplicative, which makes it useful in studying cancellations in number-theoretic sums.
刘维尔函数是完全乘法性的，这一性质使它在研究数论求和中的相消现象时很有用。

词源 Etymology

completely 来自 complete（完全的、彻底的），表示“在所有情况下都成立”；multiplicative 源自拉丁语 multiplicare使成倍、相乘）。合起来在数学语境中强调：这种“乘法规则”对任意 \(m,n\) 都成立，而不是只在互素时成立。

文学与名著用例 Literary Works

An Introduction to the Theory of Numbers（G. H. Hardy & E. M. Wright）在讨论算术函数与乘法性时会使用“completely multiplicative（完全乘法性）”这一术语。
Introduction to Analytic Number Theory（Tom M. Apostol）涉及狄利克雷级数、算术函数分类时常出现该表述。
Multiplicative Number Theory（Harold Davenport）在更高阶的乘法结构与相关函数性质中使用该术语。